資格取得後の自動車免許更新について教えてください。例えば、10月

資格取得後の自動車免許更新について教えてください。
例えば、10月15日に誕生日だとします。今年が免許の更新です。
10月末にクレーン車の免許の取得を考えています。
この場合、資格取得後に免許の更新をした方がいいのか、
早めに更新をしたいので資格取得前に免許の更新をして、その後資格をとり、併記の手続きをしてもいいのか迷っています。
免許証の色はブルーなので、ゴールドに変えるためとかの手段ではなく、単純に手間の問題です。
免許更新をした後に資格取得した場合、もう一度免許センターへ何らかの手続きが必要なのか、行かなければならないのかもわかっていないので、無知ですみませんがよろしくお願いいたします。

質問者さんが言う「クレーンの免許」が、建機の操作資格である「クレーン・デリック運転士免許」等のことを言っているのであれば、それは自動車の運転免許とは全くの別物ですから、タイミングについて配慮をする必要はありません。好きな時に取得しましょう。
質問者さんが言う「クレーンの免許」が、大型特殊自動車免許のことを言っているのであれば、手持ちの免許証の有効期限までに教習所を卒業できるなら、更新手続きはせず併記の手続きだけをしましょう。それで免許証が作り直され、有効期限が3または5回目の誕生日の1か月後に延びるので、更新はしなくてよくなります(更新はできなくなります)。誕生日が10月15日なら、有効期限は11月15日のはずで、10月末に取得ができるなら間に合いますね。
しかし、有効期限までに教習所を卒業できそうにないなら、とにかく先に更新を終えておかないと、卒業しても併記ができなくなります。更新と併記で二度手間になりますが、やむを得ません。
なお、更新の手続きがどこで出来るのか、併記の手続きがどこでできるのかは、都道府県によって異なります。

クレーン車の免許は運転免許とは関係無いので運転免許更新も関係無い。

１０月末までに併記できる状況になれるのなら
せっかく更新期間が１１/１５まであるので１１月に入ってから
併記１回でよいのでは？

大型特殊自動車免許を取得する、ということでしょうか？
現有免許証の更新期間中に併記ができるならば、更新はせずにそのまま併記をすればいいですよ。
できれば誕生日の後に併記をすれば、新しく交付される免許証は、5回目(もしくは3回目)の誕生日の1ヶ月後まで有効になります。
誕生日前に併記をすると、1回目の誕生日がすぐにきますから、有効期間が約1年違ってきます。

クレーンの免許と自動車運転免許は別物です。
クレーンを操作するのに、講習は受けますが、それは厚生労働省の管轄。なぜなら固定式（工場とかで見るやつ）があるからです、
運転免許は総務省（警察）の管轄。
道路で運転する場合は、大特か大型免があればクレーンは運転できます。作業はできません。
ただそれだけ。