新潟免許センター行きのバスが9時50分と12時35分の2本あります。

新潟免許センター行きのバスが9時50分と12時35分の2本あります。免許センターの受付が13時〜13時半です。12時35分のバスで行くと13時15分に免許センターに着きます。結構ギリギリではありますが2本目のバスで間に合
いますかね？

免許センターへ行く人の専用路線で、バスの時刻はずっと変更になっておらず、もし間に合わない事が時々でもあればバスの時刻ももう少し早めになっているはずなので、よほどの大渋滞(バイパスが事故で通行止めになる等)に巻き込まれたりしない限りは十分間に合うと思います。
ちなみに新潟交通のHPの時刻表では13:09着になっており、所要40分というのはある程度余裕を持たせた時間かと思われます。
https://transfer.navitime.biz/niigatabrt-newsystem/pc/diagram/BusRouteTimetable?operation=81200002&datetime=2021-09-29T12%3A35%3A00&node=00060458&course=0001400490&stop-no=1

一般論を言えばバス利用者向けの配慮がなされているはずなので後者でも大丈夫の可能性はありますが、確実なことは言えませんので、直接、センターに電話で聞いてみてください。

厳しいですね、その到着時刻はバス停に着く時刻ですよね？そこから受付まで歩いて、書類を提出するまで15分しかありません。
なにか不備があったり、少しバスが遅れたりしたら間に合わないことになります。さらに、今はコロナ禍で一度に試験を受けられる数を制限していたりして、一定の人数で打ち切られる可能性もあります。
私なら前のバスで行くか、タクシーを利用しますね

余裕を持った所要時間ですから、
充分間に合います。
たいていは30分強で着きます。