運転免許証の取得日や機関名を書かなくてはならないのですが、初取得日時

運転免許証の取得日や機関名を書かなくてはならないのですが、初取得日時は左下を参考にすればよいとして、取扱機関が、初めては大阪で、更新時は和歌山で免許証にも和歌山県公安委員会と書かれているのですが、どち
らを描けばいいのでしょうか

取得時なので大阪府公安委員会かな

おそらくは履歴書の資格欄の話なのでしょうね。あまり知られていないマイナーな資格の場合、発行機関まで書かないと、提出先に「なにこれ？」と言われるでしょうから。でも、運転免許証はマイナーな存在ではなく、公安委員会の発行であることは常識で、それがどこの公安委員会かはわざわざ書く意味のある情報ではありません。空欄で構わないと思います。
とは言え、意味のない情報でも、空欄にすると不自然だと思うなら、最初に発行を受けた大阪府公安委員会でもいいし、現在の免許証に書かれている和歌山県公安委員会でもいいので、どちらかを書いておけばいいでしょう。どうせ実務は委員ではなく警察が担当しているんですし。

その免許証は「和歌山県公安委員会」が交付した物なので、和歌山県公安委員会と書けばOKです！

和歌山公安委員会