運転免許証の更新期限は誕生日の１か月前～１か月後（例えば５月１日が誕生日の人の

運転免許証の更新期限は誕生日の１か月前～１か月後
（例えば５月１日が誕生日の人の場合、更新手続きができる期間は４月１日から６月１日）
ですが、運転して良いのは５月１日までという事でしょうか？

「～～まで有効」と書いてある日までです。
誕生日の一ヶ月後までに設定されているので、質問の例だと６月１日までですね。

そもそも免許証の有効期限は誕生日じゃなく、その1か月後になってる。
なんでそんな勘違いしてるか知らないけど、ちゃんと免許証を確認した方が良い。

更新期限=有効期限
なので誕生日の1ヶ月後まで免許は有効ですから6/1まで運転出来ます。