免許更新のハガキが届いたのですが誕生日の1ヶ月前ってことは、9

免許更新のハガキが届いたのですが誕生日の1ヶ月前ってことは、9月4日だったら絶対に8月4日以降しかダメなのでしょうか。

そりゃそうです。

絶対にダメだけど、海外勤務で日本を離れる予定がある等、合理的な理由が有れば、早めて受けてくれますよ。外航船の船員などは救済されています。

はい。原則はそうです。
ただし、更新期間中に長期間海外に出かける、入院するなどの「特別な理由」があれば、更新期間前でも手続きができます。それを証明する書類などが必要です。
また、所定の更新手続きではないので、免許の有効期間が短くなったりします。