運転免許の本免試験で必要な運転免許申請書の日付を書き間違えてしまいました

運転免許の本免試験で必要な運転免許申請書の日付を書き間違えてしまいました。そうなった場合はこの申請書は無効になるのですか？

無効になるかならないかは担当者次第でしょう。
受付の担当者に「すみません日付を間違えました」と言えば
「新たに書き直してください」と言われるか「こちらで
訂正しますの大丈夫です」と言われるかのどちらかでしょう。

二重線で消して訂正で良いはずです。修正液やテープを使うと申請書が無効になるので使わないように。

そのまま提出すれば、受付の人が訂正してくれますよ。