住所変更をしていない運転免許証の期限が切れてしまいました。住所変更から更新まで

住所変更をしていない運転免許証の期限が切れてしまいました。
住所変更から更新まで免許センターで済みますか？
その際に書類など必要なものがあれば教えてください。

更新は出来ません。
しかし運転免許証の有効期限が切れて6ヶ月以内なら再取得が可能です
その際新しい住所地の住民票の写し(コピーは不可)があれば
再取得した免許証に新しい住所が記載されます。
必要なもの
有効期限が切れた運転免許証(主に本人確認の為)と返却の為)
新しい住所がわかるもの(新しい住所の住民票の写しなど)
再取得に必要な手数料(更新手数料ではありません)
運転免許申請書(試験場にあります)
場合によっては持って行った方が良いもの
眼鏡(視力に自信が無い場合)
補聴器
暗証番号(暗証番号を設定する場合)暗証番号を設定しない場合は不要。

期限が切れたら更新は出来ません。
切れてから6ヶ月以内ならうっかり失効による再取得手続きになります。

期限が切れてしまったら、もう更新も住所変更も出来ませんよ。
失効から6か月以内なら、実質無試験で再取得が出来ます。やることは更新手続きとほぼ同じですが、更新ではなく免許の取り直しの手続きです。その際に住民票の写しの提出が必要になり、新たに交付される免許証の住所は、従前の住所とは関係なく、提出した住民票の写しの記載住所になります。
手続きができる場所、必要な書類などについては、住所地の都道府県名に「運転免許 期限切れ」と続けて検索をしてみましょう。それぞれの都道府県の警察のホームページにある案内記事が見つかるでしょう。
参考 警視庁(東京都)
運転免許証の有効期限が過ぎてしまった方へ（失効手続等）
https://www.keishicho.metro.tokyo.lg.jp/menkyo/koshin/shikko/index.html

窓口は違うと思いますが、同じ場所で済みます。
住民票と免許証を持っていけばできると思います。