免許証の再交付をしたいのですが、財布を落としてしまい身分を証明できるものが何

免許証の再交付をしたいのですが、財布を落としてしまい身分を証明できるものが何もありません。
親に住民票を取ってきてもらう予定ですが、顔つきじゃないのでもう一つ身分証明できるものが必要になります。
そのもう一つの身分証明書ですが、美容整形外科の診察券でも大丈夫でしょうか？

親に住民票を取ってもらうなら、あなたの身分証は必要ありません（親の身分証が必要なだけ）

住民票の写し自体は第三者でも取れる書類なので、住所の確認書類にはできても、本人確認書類にはなりませんよ。また、診察券やクレカなどではダメでしょう、私的機関の発行物では、公的な証明力が無いので。
本人確認書類として使えそうなものを一気に失った場合、一般的には、何も証明手段がない状態で作れるものから再交付をして、順々に回復させます。
まずは健康保険証とマイナンバーカードからですね。それらは全く最初の、何も本人確認手段が無い状態から作ることを想定していますから、役場の職員による聞き取りなどで本人確認を済ませる形で再交付が出来るでしょう。健康保険証の場合、社保は勤務先経由で依頼するので数週間かかったりしますが、国保は基本的に役場で即日貰えます。

マイナンバーカードで可能です。
診察券は認めて貰えません。

診察券はならないと思います。
保険証をお持ちなら使えますよ。
後は本人宛で現住所に届いた郵便物（消印あり）や現住所に届いた本人名義の公共料金の請求書でもOKだと思います。

自分宛に届いた郵便物で良いかも。