免許更新の時、住所変更もしたいのですが、裏に手書きで住所が書いてある健康

免許更新の時、住所変更もしたいのですが、裏に手書きで住所が書いてある健康保険証でも可能でしょうか

先ずは所轄の免許センターに問い合わせることをお勧めします。
その上で私個人の意見としては、認められない可能性もあるので他の物（住所の記載されている公共料金の領収書、消印の入った本人宛の郵便物など）も持っていた方が良いと思います。
繰り返しなりますが、無駄足になるほど馬鹿らしいことはないので、問い合わせる方が確実です。

住民票など、新旧の住所が証明できる書類が必要ですね。
保険証や手書きのものは、駄目と言われると思います。

社保の保険証ですよね？。国保なら住所は印刷されていますから。
都道府県によってはそれで認めてくれることがあるかも知れませんが、自署式のものは証明能力が無いので断られるのが普通です。