お早めに返答もらえると嬉しいです。現在免許更新を忘れていて（あと一

お早めに返答もらえると嬉しいです。
現在免許更新を忘れていて（あと一年あると思っていた）期限切れから約10ヶ月経っています。
免許の種類は原付のみで、免許更新したいのですが、免許の有効期限永続手続きというものはあるのでしょうか？
それとももう一度原付免許を取り直さないといけないでしょうか？

取り直しですね。
免許が原付のみでよかったですね。
車、バイクなどの免許お持ちであれば全て取り直しで地獄ですよ。
知り合いに車の免許更新忘れで捕まってた人いました。
３０万程度の罰金と２年間の欠格期間でしたね。
原付の免許はすぐ取れるので再習得した方が良いです。

もう一度取り直しですね。
永続手続きなんてものは存在しません。

質問者さんの場合やむを得ない理由がなく
失効から6ヶ月を過ぎていますので更新は出来ません。
運転免許試験場で原付免許を再取得してください。
更新窓口ではなく試験受付窓口に運転免許申請書に必要事項を記載して提出。
申請用の写真を用意しておく。
学科試験手数料と交付手数料←更新より手数料がかかります
なお学科試験合格者は技能講習があるので服装に注意する。
一度は原付免許を取得しているおで流れは把握している事でしょう。
https://www.zurich.co.jp/car/useful/bike/cc-moped-license-cost/
再取得ですから有効期限の永続手続きは出来ません。

原付免許だけで良かったですね。
取り直しても1日で済む免許なので。(東京だったら学科試験受けて合格すれば技能講習を受けたら、免許証交付)の流れになります。

平たく言えば｢取り直し｣