運転免許証の住所変更について新しい住所の警察署で行うのですか？B市

運転免許証の住所変更について
新しい住所の警察署で行うのですか？
B市からC市に引っ越した場合、
C市に違いD市で更新可能ですか？

住所変更ならCとDが同じ都道府県警察本部ならやってくれますよ。

地域差があるかもしれませんが基本的には、C市を管轄する警察署になります。
優良運転者（一般等も可の場合もあります）の方ですと、更新もできます。

C市の警察署

住所変更の話ですよね。更新ではなく。
都道府県により異なるので一概に言えません。通常、新住所の都道府県内であればどこの警察署でもいいのですが、新住所の管轄の警察署でないと駄目、とするところもあるかも知れませんからね。
なお、運転免許は都道府県の管轄なので、市町村の違いは基本的に無関係です。違いが問題になるとしたら、警察署の管轄地域の違いです。人口の多い都道府県だと、警察署の管轄が市とイコールだったりすることもありますが、複数の市町村を一つの警察署でカバーすることも普通にあります。