引っ越ししたので免許証の住所を書き換えたいのですが、免許証の住所の

引っ越ししたので免許証の住所を書き換えたいのですが、免許証の住所の書き換えは免許センターじゃなくても警察署でできるって本当ですか？

本当です。
住民票と免許証があれば住所変更の手続きが出来ます。
免許証の裏に新住所が記載されます。

同じ都道府県内の警察署なら大丈夫です。
『管轄』云々のご回答がありますが、関係ありません。
私は大阪府のK警察署の管内に引っ越しましたが、H警察署で住所変更手続きを行いました。

住所変更などの記載事項変更手続きは、新しい住所を管轄する警察署や運転免許更新センター、運転免許試験場の窓口に、備え付けの「運転免許証記載事項変更届」と「新住所および本人確認書類」を提出するだけで完了します

北海道の場合、
住民票があれば、
交番や駐在所でも住所変更はできます。

引越先を管轄する警察署で住所変更は出来ます。
他に大規模幹部派出所(大規模幹部交番)でも出来る所があります。
手数料は無料。警察署で住所変更すれば運転免許証の裏の
備考欄に新住所が印字されます。