運転免許証の裏に、手書きで新しい住所を書いてしまいました。現在一

運転免許証の裏に、手書きで新しい住所を書いてしまいました。
現在一人暮らしをしているため免許証に記載されているものとは異なる住所です。住民票は移していません。
先日ネカフェの会員登録の際に身分証明書として免許証を出しましたが、住所が異なるので裏面に手書きで新しい住所を書くように言われました(言われるままに書きましたが結局会員登録は出来ず…)。
この場合、どのように対処するべきでしょうか。警察に事情を説明しても納得してくれるか不安です。

公文書偽造になってしまいますね。
まあ、今後それを身分証として使わない限りは、そのまま更新を迎えるまで放置、でも問題は起こらないでしょうが、身分証として使っていくなら、警察に行って無知ゆえに自分でかってに住所を書いてしまいました、と謝り、その上でその住所を証明するもの（別に住民票でなくても問題ないです。その都道府県警察で認められているもの（消印付き郵便物でもOKだったりします）があればいい）持参で、”公式に”住所を変更してもらえばいいかと

住民票の住所で登録すればよかったですね。
公共サービスじゃないんだから近所の住所である必要もないでしょうし
まあそのままでもあまり問題無さそうですが、汚損したのと同じと考えて再発行すればキレイな免許証になりますよ。

免許証ってのは、「借り物」なんです。
で、免許証の裏には警察が記入して判を押したもの「以外」は無効ですし、勝手に記入すると「公文書変造」に問われかねない訳でね。
正直に申し出るしかないですね。
その「手書きで書いて」と言ったネカフェ店員も知らなさすぎ。

住所変更をするのでなければ何もする必要がありません。
今後、警察に免許書の提示を求められて備考の書き込みを聞かれた時には、そこに書かれていることを答えればよいです。

警察署で正直に申し出れば注意で済むと思います。

警察署に行ってありのままを伝えれば良いです。