誕生日と免許取得日の関係によっては、初回更新時にゴールド免許になるので

誕生日と免許取得日の関係によっては、初回更新時にゴールド免許になるのですか？

いいえ。更新だけでは初回でゴールドになることはありません。ずっと無違反でも、ゴールドになるのは2回目の更新時からです。
ただし、別の種類の免許を併記し続けるなどで、更新を一度もしないまま免許歴5年を達成してしまった人は、「初めての更新」のと気にゴールド免許になる可能性があります。

ゴールド免許になる最低条件は、
「5年間無事故無違反を継続していること」
です。
1種類の免許しか所持していない場合、最初の更新期間は3年以下ですから、
ゴールドになることはあり得ませんね（苦笑）
免許を追加しないで更新をしていく場合、ゴールドになるのは、次の更新時になります。

免許証取得後、初回更新直前に新たな免許を併記すれば免許の有効期限が延長されるので、初めての更新でゴールド免許にする事可能です。
併記しないなら、ゴールド免許にはなりません。

ゴールドって5年掛かります。
初回更新はもっと短いです。

5年間無違反が基準になるので3回誕生日が基準の初回更新ではゴールド免許にはなりません。
もう一回先の更新で初めて基準に達する状態ですね。