私は普通自動車免許持ちで、今回、普通自動二輪の免許を取りました。7月に

私は普通自動車免許持ちで、今回、普通自動二輪の免許を取りました。7月に自動車学校を卒業し、卒業証書をいただいたのですが、10月に普通自動車免許の更新があります。
誕生日前に行くのと誕生日後に行くので、なにか変わりますか？

有効期限の期間が変わります。
質問者さんの誕生日が9月と仮定して
運転免許の有効期限の期間は誕生日の回数で決まります。
質問者さんの場合は2023年7月に併記手続きすれば
2023年9月か10月が一回目と数えます。
2023年7月併記。
2023年10月＝一回目の誕生日
2024年10月＝二回目の誕生日
2025年10月＝三回目の誕生日(違反はここで更新)
2026年10月＝四回目の誕生日
2027年10月＝五回目の誕生日＝(優良、一般はここで更新)
と言う事で7月に併記手続きすればほぼ１年間損します
なので質問者さんの場合は10月の更新まで待った方が良いです。
そのとき自動二輪の免許も追加(併記)されます。

更新だと、その期間中であれば、前でも後ろでも誕生日に更新したのと同じです。
併記の場合は、誕生日前日なら1日でも1年になります。
更新後併記すると、更新手数料と受験料(併記は更新とは違います)を払わないといけません。
併記すると更新時期も延びますので、更新がそもそもできません。
私のところでは、更新する建物と試験、併記の建物は別です。
なので、同時にはできないということになります。
で、更新期間中の誕生日以降に併記をすれば、一番長い期間で使えるということになります。

有効期限が変わります。
誕生日前に併記すると次の有効期限は３回目(ゴールドなら５回目)の誕生日の１ヶ月後が有効期限になるので実質２年と少しです。
誕生日を過ぎてすぐに併記すれば丸３年になります。
誕生日が10月なら、誕生日を過ぎてから今の免許証の有効期限内に併記手続きをするのがいいと思います。
更新の手続きしなくて済むし金銭的にも得だと思います。