10月に東京から神奈川に引っ越しました。免許証の更新時期が近づいており、

10月に東京から神奈川に引っ越しました。
免許証の更新時期が近づいており、旧住所(東京)から新住所(神奈川)に郵便物の転送届をしており、新住所に更新のお知らせハガキが届きました。
ハガキには手続できる免許センターや警察署が東京のものですが、免許証の更新と住所変更を同時にする際は神奈川で手続きをすればよいのでしょうか？

はい。その通りです。

神奈川の免許センターで住所変更、免許更新
同時にできますよ
住所変更だけなら新住所(神奈川)の警察署でもできます
免許証と住所証明するもの出せば
5分で終わります

はい、そのご認識で合っています。

ええ。今のままでは都内でしか更新ができませんが、神奈川県内の新住所の証明書(住民票の写しが無難)を持参すれば、神奈川県内の更新窓口で住所変更と更新の手続きが同時にできます。
ただ、ハガキには東京都の窓口の案内しか書かれていませんよね。運転免許の更新手続きは都道府県により大きく異なり、東京と神奈川もかなり違いがあります。神奈川県警察のホームページで、更新の案内記事を探して確認しておきましょう。

新住所の神奈川県、二俣川にある運転免許センターで行いましょう。https://www.police.pref.kanagawa.jp/tetsuzuki/menkyo/mes83001.html
その際、新住所の神奈川の住民票と旧免許証を持参します。
https://www.police.pref.kanagawa.jp/tetsuzuki/menkyo/mes83004.html