免許証に旧姓併記の手続きをしたいのですが、住所の管轄以外の警察署

免許証に旧姓併記の手続きをしたいのですが、
住所の管轄以外の警察署でもしてくれますか？
戸籍謄本を取りに行くので本籍地の近くの警察署で手続きしたいのですが。(県内です)

そのあたりの取り扱いは都道府県で異なるので、各都道府県の警察のホームページで「記載事項変更」の手続き案内記事を探して確認しましょう。住所を管轄する警察署でないと駄目かどうかもありますが、住所の変更は警察署でできても、氏名の変更は試験場でないとできない、などの制限があるかも知れませんからね。また、戸籍謄本では手続きができず、氏名欄が訂正された住民票の写しが必要になる場合は、本籍の所在地より住所地に近い警察署のほうがいいはずです。
私の住む福岡県の場合は、下記で案内されているように、福岡県内であればどの警察署でもよく、また警察署で氏名の変更もできるようです。ただし、必要な書類は「本籍（国籍）が記載された住民票の写し」となっていますので、本籍と住所が異なる場合、住所地の役場でないと書類が取れませんよね。また、免許証の裏面に訂正記載がされるだけですので、免許証の表の氏名欄を変更したい場合は再交付申請が必要で、試験場でしか出来ません。
参考 福岡県 運転免許証記載事項変更手続き
https://www.police.pref.fukuoka.jp/kotsu/unshi/012_2_2.html