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たったいま、エンジンオイルの交換をしてもらいました。
終わって帰ろうと1～2分車を走らせたところで、水温警告灯が赤く光ったので、ひとまずコンビニに停めているのですが。。
エンジンオイル交換後はこういうことも有り得るのでしょうか？？
交換してもらったところからは車で5分もない距離なんですが、もう1回行った方がいいですよね？
最近、ベルトもきゅるきゅる鳴ってたのでそこも気になってます。。
車は少し古く、平成 23年のダイハツムーヴです。補足皆さんたくさんの回答ありがとうございました。
ロードサービスに来てもらったところ、車のベルトが外れているとのことでした。
これからカー用品店に持って行って改めて見てもらおうと思います。

オイル交換と直接関係はありません。
ただ、単純にタイミングが悪かっただけです。
油圧警告灯が点灯したのであれば、オイル交換が原因だと思いますが、水温警告灯であれば冷却水の問題なのでオイル交換とは関係がないです。
ベルトも冷却水関係で関係はありますが（ベルトでウォーターポンプを動かしているため）、オイル関係でみるとほぼ関係ありません。
どちらにしても車にとっては危険な状態なのでオイル交換したところでもいいのですぐに行ってください。
5分ぐらいなら自走でもいいと思いますが、本音を言うとレッカー搬送が望ましいです。

水温警告灯だと最悪オーバーヒートになる可能性ありますのでまずはエンジン停止してください。
ラジエーターの中に水が入っていればいいですが、確認するならラジエーターキャップ開けないといけないけど、冷却水熱い状態で開けると水蒸気と冷却水が吹き出してヤケドします。
なのでタオルなどをかぶせて手袋してその上からビニール袋をしてゆっくりあければヤケドしにくいです。

オイル交換して水温警告灯が点灯する事等無いと思います。
何処でオイル交換したのか？ですが何か点検でもされたのでは？
ラジエーターキャップの締め忘れとか？
知合いのムーブでエアコンが冷え無いなんてあり点検した所LLCが空っぽなんてありました。
たまたまオイル交換後の不具合な様に思います？
とりあえずサブタンクを確認してみれば如何ですか？

車の底を見たら濡れていませんか？今まで走ってきたところというか。
キャップの締めが緩かったんでは。
それでキャップが外れてオイルがもれてきしんだ音がするのでは。
という経験があります。