車のタイヤがパンクしました。長さ2cm.ネジ頭5mmの鍵が刺さっていました。

車のタイヤがパンクしました。長さ2cm.ネジ頭5mmの鍵が刺さっていました。中古タイヤ店を回るも適合タイヤがみつかりません。
新品のタイヤを入れることになると思いますが、ガソリンスタンドへ行くと片方タイヤを変えると高さがあわなくなるので（多分消耗した溝の部分の高さの差のことを言っているのだと思いますが）、前輪の両方を変えることをおすすめしますと言われました。パンクしてないタイヤも変えないといけない理由がわからないので教えてください。高さが合わずに乗るとどのような不具合が生じますか？高さの差があれど、パンクしてないほうのタイヤはスリップラインまで消耗してないと思うので高さの差はせいぜい3-5mmじゃないかと思うのですが、それくらいならあまり違和感も感じないのでは？と。
また、パンク修理だとわりと安くで治りそうですが（2000-3000円）これだと高確率でまた空気ぬけしますよね？
鍵はタイヤにめり込んでる状態でタイヤにぐるり亀裂みたいなものはあります。
チューブレスなので空気は抜けにくいらしく、応急処置たげしてもらっています。
車種はベゼルです。

最近の車ですと、駆動輪のタイヤの高さが違うまま走行すると、エンジン警告灯がついてしまう車両も割とあるので、そう言った面で両方交換を勧められたのだと思います。数ミリの差でも出るケースがあります。
私も仕事上でこういうケースだと、安いタイヤでいいから2本交換した方がいいと勧めてます。
パンクは応急処置でも漏れるケースは少ないです。
ですので、2本交換するか、応急処置で様子を見るかがいいです。1本交換は避けるべきです。

サイドウォールのカットで無いので
リペアすれば使えます。タイヤ二本変える寄り安上がりです。

できればタイヤを外して裏側から本格的に修理すればパンク前と変わらなく使用できると思います。
GSでは裏側修理はやらないので、大型トラックなどのタイヤを扱うお店は裏側修理をやってくれると思うので、それをやってくれるお店を探してみてください。
修理費用はＧＳの修理代より1000円～2000円くらいお高めです。

パンク修理とタイヤ交換では、出費に大きな違いがありますよね。
スタンドでは、パンクの状態から、タイヤ交換すべきと言っているのですか？
単純なパンク修理で良いのか、交換なのか、別のスタンドなりショップで確認した方が良いかも知れませんね。
交換するなら当然2本でしょう。

＞＞高確率でまた空気ぬけしますよね？
しません。
ただ、内側からの修理をオススメします。
3～5mmだと結構な差なので、ハンドルが取られる可能性や不安定です。
新品のタイヤで約10mmですから。

残り溝が左右で変わるわけだし
下手したら違う銘柄になるでしょう？
左右でグリップが変わるわけだし
片側がハイドロにもなりやすい
両方変えましょうって言うのは
お店として当然のアドバイスです。