ずいぶん前になるのですが、免許更新の期限が切れて再交付してもらい

ずいぶん前になるのですが、免許更新の期限が切れて再交付してもらいました。再交付された免許証を見ると最初に免許を取得した年月日がどこにもなく、
再交付された日が記載されていました。確か番号の末尾で再交付だとわかるそうですが、これでは免許を取得した年月日がわからなくなってしまいます。なぜ最初の交付日を残しておいてくれないのでしょう。裏面に再交付日の年月日を記載してもいいのだし…。期限を切らしてしまった私が悪いということは重々わかった上でお聞きしたいのです。何とか免許取得日を記載してもらう方法はないでしょうか。

失効申請と再交付は別物です。
再交付は、紛失（盗難）や汚損・棄損等により文字どおり運転免許証の「再交付」を受けることです。これは免許を現に受けている事が要件になります。つまり、有効免許の保有者であることが必要で、行政許可の免許ではなく物質的な免許証を再び貰う行為です。
免許番号の末尾が一つ繰り上がり、二度と０に戻ることはありません。（汚損・棄損を除く）
失効申請は、更新義務を履行しなかったことから無許可状態(無免許）になった免許を再び受ける手続きです。
法律上は、新規受験となり一から出直しと認識して下さい。ただし失効後６か月以内の申請であれば、試験の一部免除規定が適用され「適性試験のみ」で合格できる措置があります。
新規合格免許であることから、取得日が失効申請時になるのは当然の成り行きなのです。
初心者制度は「新規合格以前６か月以内に同種免許を受けていたことがある者」は対象外になります。よって免許裏面に「初心者標識免除」のスタンプがあるはずです。また免許番号は変更がありませんので、３～４桁目があなたが最初に取得した西暦の下二桁になります。（例・１９９８取得なら１～２桁目の都道府県番号の次に９８がきます）
免許管理データ上は当然残っているのですが、失効申請の免許は前述のとおり、過去の免許歴が分かる記載は殆どありません。新規合格ゆえ過去の免許取得日は記載できない理屈です。諦めるしかないようです。

免許の更新期限を過ぎたということは、その免許は完全に失効しています。
質問者の方は再交付と言っておられますが、一度失効してしまった免許証に対し特例で
発行するわけですから、再発行などではなく試験免除で新たに免許証が交付されること
になるのです。
だから、免許取得日は新規発行日になっているのです。
特例として、そのようなケースの場合、初心者マークの表示義務等初心運転者に適用
される事項は全て免除されます。
免許番号の末尾については、有効期間内に紛失等で再発行された場合にカウントアップ
され、次回免許更新で０にリセットされる番号ですので、今回のケースは該当しません。

お気持ちは判りますが残念ながらありません。
免許証の裏側に「初心者免除」とだけスタンプが押されていませんか？
唯一、それが「初心者ではない」という証なのです。
あと、無事故無違反でも３年目に講習を「受講」しなくてはいけません。