運転免許証を紛失してしまいました。しかも今月末が誕生日で、今年の1

運転免許証を紛失してしまいました。
しかも今月末が誕生日で、今年の11月末までに更新しないといけません…
ですが、更新は日曜日でもやってると思いますが、
免許証の再発行は平日しかできないと聞きました。
平日に更新と再発行を同時にできればいいのですが、私には小さい子供がいて、平日でも日曜日でもまる１日子供を預けるのは不可能なんです。

なので先に、すぐ平日に子供を連れて再発行の手続きをして、日曜日に短時間だけ子供をみてもらって更新の手続きをするなどどうしても別々に行いたいのですが…
面倒もお金もかかるかもしれませんが、
そうする事はできるんでしょうか…？

免許センターに問い合わせればいいんですが、
なんとなく不安なので質問させていただきました。

本当に困ってるので
どなたか知恵をお貸し下さいm(_ _)m
よろしくお願いします。
補足今月誕生日にもかかわらず、
通知のハガキもまだ来ていません。。。
引っ越しはしましたが、ちゃんと住所変更もしたのに…
いろんなのが重なって、不安が倍増してます(泣)

免許証を紛失し、手元にない人が更新手続きをする場合。
更新連絡書（ハガキ）（紛失等でお手元にない方は、窓口でお申し出ください。）
免許用写真１枚（申請日前６か月以内に撮影し、無帽・正面・無背景で胸から上が写っているもの。大きさは、縦３cm、横2.4cm。）
認め印
手数料
高齢者（更新期間満了日の年齢が７０歳以上）の方は、高齢者講習終了証明書
記載事項に変更のある方は、
更新と同時に住所変更届をする場合は、新住所を証明できる書類 １通
（住民票、健康保険証又は新住所に届いた郵便物など）
更新と同時に氏名、本籍を変更する場合は、氏名、本籍を証明できる書類 １通
（本籍の記載がある住民票又は外国人登録証明書等）
あと、手数料。
時間は通常の更新とほとんど変わりません。（でも午前中全部は覚悟しなくてはなりません）
更新葉書は、免許証の住所に発行されます。でも引っ越しのタイミングなどで、前の住所に届いてる場合や、そもそも免許証の住所変更をしていない場合は新しい住所に届かないことも多いですよ。住民票を移動しただけでは免許証の住所は変更になりません。
もし、免許証の住所を変更していないのであれば、住所変更も一緒にしてしまいましょう。再発行と更新を同時に行う場合、手数料は更新だけと同じです。（そもそも住所変更は無料です）

平日の再交付を伴う更新と日曜の更新。
写真と確認書類がいるくらいで、結局どちらでも時間はたいして変わらんだろ。結局は同じ更新てこと。ちなみに警視庁では再交付を伴う更新について、どこにも平日のみなんてかいてないけどね。
だいたい、知恵袋で子供連れて更新いくという質問や回答を見たことあるけど・・・。

あなた自身がおっしゃっている通り、免許センターに問い合わせるのが早道でした。
それと、子供を丸一日預けることが不可能だろうがなんだろうが、そうしなければ手続きが出来ないのなら、何とかするしかないでしょう。
自分の都合ばかり主張して、それに合わせてもらえないかと考える人が多すぎる気がします。世間は自分の都合に合わせて動いてくれません。