車の免許更新期間が12月22日までで、その期間を３ヶ月も過ぎ

車の免許更新期間が12月22日までで、その期間を３ヶ月も過ぎてしまったのですが、更新はもう出来ないのでしょうか？

更新はできず、手続き上は、試験を受けなおして復活させます。
ただし、６か月以内なら「うっかり失効」として、筆記試験・実技試験とも免除され、適性試験だけですみますので、手間としては免許更新と同じようなものです。
下記サイトを参照してください。
http://www.top.in.arena.ne.jp/menkyo03sikkou.html

更新はできません。
しかし、改めて取りなおす時に免除項目があります。
６ヶ月以内であれば、
新規発行時に学科試験と、実技試験が免除になります。
「所定の講習」と「適正試験」は受ける必要があります。
６ヶ月を超え、１年未満なら
仮免の学科試験、と実技試験が免除になります。
第二段階からのスタートとなります。
１年超え
免除項目無し。
ゼロからのスタートです。

運転免許の有効期限が切れると免許は失効し、更新検査を受けることはできません。
しかし、失効後6か以内の場合は、免許再取得申請をし、学科・技能試験免除で適性試験のみで、失効免許を再取得することができます。
貴方の場合、6月22日までに、免許再取得のための受験申請をすれば免許を取得できます。

失効してから６ヶ月以内であれば、比較的簡単な手続きで免許証の再交付が受けられますよ。
ただし、失効後６ヶ月以上を経過してしまった場合は、改めて免許を取り直す場合もあります。
２００２年までは、６ヶ月以上過ぎたら、取り直しだったんですが、もうそれは酷だということでなくなったようです。
私も、通称「うっかり失効」してしまったことがあります。
もともと今住んでいる県ではないとこで取ったんで、免許を取った県の試験場まで行かなければなりませんでした。（今は違うかもしれませんが。）
いずれにしても簡単にできますので、早めに警察署か運転免許試験場に電話して、手続きを聞いたほうがいいと思います。