横浜に住んでるんですけど東京で免許更新できますか？ - 可能です。神奈川県居住

横浜に住んでるんですけど東京で免許更新できますか？

可能です。
神奈川県居住者でも東京都で更新ができます。これを「経由更新手続き」といい、制度化されています。
ただし条件があり、優良運転者のみに限定されていて、かつ申請時に記載事項変更や再交付を伴う場合は不可となります。
また、受付場所は神田、新宿の各運転免許更新センター だけであり、府中・鮫洲・江東の各運転免許試験場及び指定警察署ではできません。
日曜更新は上記更新センターでは実施していないので、月～金（ 8：30～16：00）に限ります。
更新手数料には神奈川県の収入証紙（印紙）が必要ですが、更新センターでは関東近県の証紙の委託扱いがあります。

住民票が東京ならできますけど、そうでないならできません。
ただし、優良運転者なら経由更新ができます。

東京に住所変更すれば？
別に住所変更は住民票要らないから、住民票の移動は不要です。