免許の更新日が迫ってきています。 - しかし、先日引っ越しをし

免許の更新日が迫ってきています。
しかし、先日引っ越しをしたばかりで、まだ免許証の住所変更手続きをしていません。
この場合、免許の更新すると同時に住所変更をするべきでしょうか？
それとも、先に住所変更をしてから、免許の更新に行くべきでしょうか？
知恵をお貸しください。

特に必要がなければ免許更新時と同時に住所変更（順序は住所変更→更新）で大丈夫ですよ。
更新時に更新に必要な物（免許証、手数料）の他
新住所記載の
・住民票
・健康保険証
・消印のある郵便物
のうち、いずれか１点
を最寄りの警察署または運転免許試験場へ行って手続きをして下さい。

身分証明書として使う用事がないなら更新時でいいと思います。その際には住民票を忘れずにしてください。

市役所等には転入届はだしてありますか？あるんだったら、住民票と印鑑を持っていけば同時にできますよ。

書き換えの時で大丈夫ですよ。
住民票や住所が乗っていて、本人確認が出来る書類を持って行けば大丈夫です。