車検証の住所を変更しておかないと、自動車税の納付書は今の住所に届かない

車検証の住所を変更しておかないと、自動車税の納付書は今の住所に届かないですか？

原則その通りです。車検証の住所へ送付されます。
何らかの事情で、他の住所への送付を希望する際は、各都道府県の自動車税事務所へ連絡して送付先を変えることも出来ます。

基本は車検証の住所地です。
しかし、他県の事は知りませんが
課税する都道府県は自動車税を納めてもらうのが目的です。
また納税者は納めるのが義務です。
納付書の送り先変更は車検証の住所変更に関わらず納税者から申し出があれば変更してくれます。
仮に他府県に転出しても元の都道府県に納税がいただけるのですから、その都道府県にとってありがたいことですね。
滞納になった場合、納税を求めるため住所居調査～財産調査～差し押さえまでしていますね。

そりゃ勿論。
だから個人売買で｢売ったのに相手が名変してなかったのか税金の通知が来た｣なんてトラブル質問が有る位ですからね。
名義だろうが住所だろうが、変更しなけりゃ変更前の所に行きますよ。
ちなみに、私は実家から出てるが住所変更してないので実家に通知が来ます。
まあ、車自体は実家に置いて有るから問題無いんですけどね。

転居転入をすれば、自動車税の納付書は現住所に来ますよ
市町村、県税が必ず追いかけます…

車検証は変更はしないと駄目だけど、今度は車庫証明もいるし住民票取ってだしにいかないといけないから、みんなしていないかもね
郵便物を住所変更してると届くはず
また車検時にそこで払えばいいけど追徴課税が付くかもね
https://www.pref.aichi.jp/soshiki/zeimu/0000051633.html
ここではネットで住所変更出来ると記載が（あくまで税務署の）愛知なのはたんに俺が愛知にいるから