運転免許証の住所変更は近くの警察署でも可能でしょうか？ - 可能です。自分の

運転免許証の住所変更は近くの警察署でも可能でしょうか？

可能です。
自分の名前と変わった住所が書かれているハガキでもよかったと思います。
他都道府県に引越しなら住民票が必要かと・・・

都道府県によりでしょうね
埼玉は全県どこの警察署でもＯＫ
群馬なんか警察署で出来ないんですよ
住所地の「安全協会」が担当しているんだから
http://www.police.pref.gunma.jp/koutuubu/04menkyo/sinsei-madoguchi.htm
日本１癒着している県かも

近くの警察署でも大丈夫です。
その時に新しい住所に引っ越ししたことの証明に、住民票が必要になると思います。
参照
http://www.unten-menkyo.com/2008/07/post_6.html

どこでもできそうです。
友達が気所に引っ越してきたので、
近所の警察署を教えてあげ、行って来たそうですが、
警察から、別に会社の近くでもいいんだよと言われたそうです。