免許証の裏面って勝手に書き込んでも大丈夫なんでしょうか？落とした時の連絡先

免許証の裏面って勝手に書き込んでも大丈夫なんでしょうか？落とした時の連絡先とか、万が一事故った時の緊急連絡先とか？どなたかご教授下さい。

裏に勝手に書くことは、犯罪です。

裏面には、免許証の発行換えをするまでもない程度の変更事項を当局が記入して押印することになっています。
たとえば、住所が変わったとか、免停何日とか、そういう類です。
ですので、金融機関等から「免許証のコピーを郵送せよ」と指示されたときは、裏面もコピーする必要があります。
「普通車はAT車に限るの限定解除」といった、かなり重要な事項でも、発行換えにはならず裏面記載になります。
連絡先等は、名刺サイズの紙を用意して、それに書き込むといいでしょう。

公用文書等毀棄罪（刑法第258条）
「公務所の用に供する文書又は電磁的記録を毀棄した者は、三月以上七年以下の懲役に処する。」に該当すると思います。

免許証の裏面に落書きをしたら文章偽造罪になります。もちろん、プリクラの写真等を貼るのも表裏ともにアウトです。
連絡先なら他のものに書いて下さい。っていうか、免許証を落とした時の連絡先なんか住所を書いてるから別にいらなくないですか？
これでおわかりいただけたでしょうか？

免許証は裏側でも書き込むと偽造になるのでは？

ダメですよ。
免許の裏側は、公安でしか記述できません。
免許証が入るくらいの透明なビニールケースを用意して、それに免許と連絡先を書いた紙を入れて、ビニールケースを封をすれば良いかとおもいます。