飲酒した状態で自転車に乗って捕まった場合、自動車の免許が停止や取消しといった

飲酒した状態で自転車に乗って捕まった場合、自動車の免許が停止や取消しといった処分を下される可能性はあるのでしょうか？

可能性はゼロでは有りません。
実際に免許停止処分されています。
https://search.yahoo.co.jp/search?p=%E8%87%AA%E8%BB%A2%E8%BB%8A%E9%81%95%E5%8F%8D%E3%80%80%E5%85%8D%E5%81%9C&fr=top_ga1_sa&ei=UTF-8&ts=9204&aq=-1&oq=&at=&ai=6d3c2474-2eda-4e60-a10c-ba79713ab212
※違反点数が加算されるかどうかは不明です。

あります。
参考
https://car-days.fun/blog/column/34816
この他にも、
大型等以上の免許全て取り消された判例もあるようです。

飲酒の度合いによる。
今までは、運転に支障がない程度の飲酒なら、自転車の場合は罰則なかったからね。

青切符制が施行されるとされるのかも？
自分はロード乗りになる前はちょくちょくやってて、一度警察に止められた。
「おとうさん、お酒飲んでますよね。自転車でも飲酒運転は禁止ですからね。もしないでくださいね。」で終わった。

ですね。チャリが買えなくなりますね。

制度的にはない
が
こんな奴は二度と道路を走らせるな！レベルで行政を怒らせると 超々例外的にそうした事例はなくはない
多分１０年に１件レベル