原付の免許を取ってから1年以内に4点失いました(2点と2点)

原付の免許を取ってから1年以内に4点失いました(2点と2点)
その場合初心者講習の通知が来るはずなんですけど、受けない場合はいつまで原付に乗ることができるんですか？もうすぐ車の免許を取得しに行くつもりです

画像の右端のパターンで、免許取得日から１年＋αですね。
αは、１ヶ月はあるんじゃないかと。

初心者講習を受けなかった場合
原付取得１年後に再試験の通知が来る。
原付再試験を受けて落ちる。または、再試験を受けない場合、原付免許は失効する。
なので、大雑把に原付取得１年経過より前に上位免許、例えば普通一種とか普通二輪を取得する予定の場合、初心者講習を受けないという選択肢も充分利点のある選択になる。

手続きについては回答出尽くしてるのでかきませんが、貴方の認識に大きな誤解があるようなのでお伝えしておきます。
運転免許証は種別に関係なく1つです。
君がすべての種別(原付・小特・普通・自二・大型・大特・けん引など)の免許を持っていたとして、例えば原付運転中に6点累積すると、普通車も大型もすべての免許が停止されます。
やり取りの中で、原付で捕まっても普通車なら乗れると誤解しているように読めたので、念のため
当然免停中につかまれば無免許運転ですし、人を怪我させたり物を壊せば莫大な賠償が必要になります。当然任意保険は使えないので全部自腹です。
ガードレール1枚で10万くらいするし、健康保険は使えず自費で5倍とかの医療機関もあるから、小さな事故でも簡単に「100万払え！」という事になります。保険掛ける金がないなら運転するなよ

講習を受けないと車の免許を交付されませんし
その間時間も止まっているので損ですね

初心運転者講習→
受講しない→
再試験→
再試験のお知らせ→
再試験受験しない→
免許取消
の順。事務手続き等もあるから1・2か月は余裕あると思います。
いずれにしても再試験のお知らせが来たら要注意。

そうですね。
初心者講習を受けなかった場合、免許取得から1年した時に「再試験」となります。初心者講習は再試験を回避するための講習と思って下さい。
再試験を受けなかった、あるいは再試験に不合格の場合は、免許取消となります。（一応、聴聞があるようですが形式的なものです）
取消処分になる前に上位免許（普通・準中型自動車免許や自動二輪）を取得すれば、原付の初心者期間はそこで終了するので再試験もなくなります。
（上位免許の初心者期間が始まります。1ヶ年です）
ただ、自動車学校に入校する段階で既得免許や最近の違反歴を聞かれますので、原付免許があって、こういう状況になっています、ということは伝えておいたほうがいいでしょう。（教習簿に既得免許を記載する欄があります）
仮に初心者特例による取消処分を受けても欠格期間はありませんから、すぐに運転免許の取得をすることは可能です。
（通常の行政処分点数による取消処分だと、1年から最大10年の欠格期間があります）
あ、それともう一つ。
車の免許を取っても、違反点数が累積4点となっています。このあと、原付でも車でも2点以上の違反があると、違反者講習や免許停止処分になりますから、特に1年間は気を付けないといけないですね。