ミネソタ州からカリフォルニア州に引っ越すのですが、ミネソタ州の運転免許証でカリ

ミネソタ州からカリフォルニア州に引っ越すのですが、ミネソタ州の運転免許証でカリフォルニア州で車を買うことは可能ですか？
不可能な場合、カリフォルニア州の免許証に書き換えるだけですか？それともテストを受け直す必要がありますか？

先の回答の方は、カリフォルニア州からミネソタ州へ引っ越す場合のことを書いていると思う。
一般にアメリカではどの州も、州を越えて引越し（移住）する場合には、定住場所（住所）を決めた30日以内にその住む州の運転免許証に切り替える必要があります。（もし住所が変わったのに前の州の免許証で運転している場合に警官に捕まった場合、速やかに免許証を住んでいる州の免許証に変えるように警告を受けます。）その理由は、運転免許証が州のIDを兼ねているからです。もしあなたがカリフォルニア州内のどこかで写真付きIDを見せることを求められ、ミネソタ州の住所が書かれたミネソタの運転免許証を見せた時、そこに書かれている住所が現住所と違うことで不都合が出る場合があることを考えてください。
車の保険も、新たな州の保険に変更する必要があります。
保険の方を先に変更しても良いですが、エージェントに「免許証が変わったら、新しい免許証番号を連絡するように」と言われます。
また、新たな州の保険に登録する前に、ナンバープレート自体を新たな州に登録する必要があります。ほとんどの州はナンバープレートの登録の前に排ガステストを行う必要があります。（ペンシルバニア州は車体の安全テストも必須です。）
新たな州で免許証の書き換えするには、視力テストと、その州の運転ルール（法令）に関する筆記試験は必須です。実地試験は殆どの州では免除されます。運転法規は州によって若干違うので、引越し先の州の運転ハンドブックをDMVまたはオンラインで事前に入手して、最初から最後まで一通り読んでおいたほうが良いです。ペーパー試験に一度受けても、その日のうちに２回まで、または翌日もう一度受けられる州は多いです。
例外は、学生（大学生、大学院生）の場合で、学生は学生である内は、親の住んでいる州の免許証のままで在学中は運転できます。

カリフォルニアに引っ越して、住所が決まったら、すぐに運転免許証を書き換えるのがいいです。その場合、筆記試験は必要ですが、実技は必要ないです。
試験は、簡単です。DMVの所に行くと、Manualが無料で置いていますので、それでおさらいしておくといいでしょう。
オンラインでも、探せば英語と、日本語の問題が載ってるサイトがあります。
以前は、日系のお店の入り口に無料で置いてある、電話帳の一番後ろ辺りに、英語と日本語の試験問題集があったりしましたが、、、。
車は、ミネソタ州の免許証でも買えますが、私が、以前、カリフォルニアに引っ越した時、車の保険を掛けるのに、カリフォルニアの運転免許証が必要でしたので、直ぐに、カリフォルニアの運転免許証に書き換えに行きました。
昔は、運転免許証は、書き換えに行ったその日に、その場で貰えましたが、最近は、Real ID Act と言う法律に従った、"Real ID Driver License" と言うのになったので、数週間後に郵送されて来るので、受け取るまで時間が掛かっている様です。
Real ID Licenseは、国内線に乗る時に、身分証明書として使える物になったので、昔のタイプの運転免許証で、Real ID の規定に従っていないのは、国内線に乗る場合、IDとして認められなくなります。

カリフォルニアに引っ越し10日以内にDMVで書きかえをするように書いています。
筆記試験は受けることになりますね。
詳細はDMVを読みましょう。
こちらです↓
https://www.dmv.org/ca-california/new-to-california.php

カリフオリニアの隣接州ならそのままドライブ出来るし保険も一定期間は有効です
ミネソタの場合は運転免許は新たに取り直す必要があります(実地試験です)
カリフオルニアの自動車保険は当分はミネソタでも有効ですが免許を取られたらミネソタの保険に切り替えるのをお勧めします
処理が迅速ですしプレミアムも安い？
念の為にGEIKOなど全米規模の保険会社で確認してください