免許更新の初回講習は、1ヶ月に一回ですか？６月５日なんですが。 - それは…

免許更新の初回講習は、1ヶ月に一回ですか？
６月５日なんですが。

それは…
指定日に受けれないから次はいつになるか？って事かな？
警察に相談すると都合の良い日に変更してくれます。(自治体によって月に何回あるかは異なると思います)

講習自体は、基本的には書き換え時に一度の受講になります。

更新の通知ハガキがきましたか？それに、更新手続きの場所や方法がかいてあると思います。質問者さんがどちらにお住まいかわからないので、はっきりお答えは難しいです。
大概、運転免許試験場（免許センター）と呼ばれる場所では、時間の制限もありますが、毎日行っていると思います。また、最寄りの警察署等で更新する場合には、手続き後、「初回更新者講習」は、この日とこの日とこの日、などといくつか候補をあ上げてくれるので、都合のいい日を選べばいいです。
なお、この講習を受けないと、免許交付はされませんから、免許証の裏に。有効期間延長（更新手続き済み等）の記載をしてくれます。

貴方が言っている初回講習というのは、免許更新の初回更新での講習ということでしょうか？
初回更新は免許を取得した日の3回目の誕生日の前後1ヶ月になります。その時に2時間の更新を受けることになります。
免許証に有効期限が明記されていますので、それまでに初回更新をしないと免許証は失効になります。仮に有効期限が平成24年6月5日ならば、その日までに更新をしないと6月6日からは失効となります。
初回更新の講習で1ヶ月に1回というのは意味が分かりません。