免許についてAT（オートマチック車）とMT（マニュアル車）はMTとATの車

免許について
AT（オートマチック車）とMT（マニュアル車）はMTとATの車を運転するには、MTとATどちらとも取らないといけないのでしょうか？

オートマチック車の免許はオートマ限定なので、マニュアル車の運転はできないですがマニュアル車の免許だと限定ではないためオートマ・マニュアル車どちらも運転出来ると思います。
私は教習所では仮免までMT車でしたが6回不合格になってしまったので、AT車に変更して、卒業検定まで1発合格しました。
MT車であれば、両方とる必要は無いですが、AT車だと限定解除を受けなければならないです。

限定なし（通称MT免許）
→AT、MT 運転可能
AT限定
→AT車のみ
となります。

免許の種類は、大雑把に言って、ふたつとなります。それは、
①限定なし免許
②AT 限定免許
です。よく誤解されますが、AT 限定免許はあっても、MT 限定免許というものはありませんので、限定するかしないか、の違いと考えると思います。
従って、
＞AT（オートマチック車）とMT（マニュアル車）はMTとATの車を運転
＞するには、MTとATどちらとも取らないといけないのでしょうか？
という問いに対する回答は、限定なし免許を取得するだけでよい、となります。

MTしか運転できない免許と言うのは存在しないので取りたくても取れません。
昔は単なる普通免許でMTもATも運転可能。
途中、AT車が普及して来たのでATしか運転できないAT限定免許が追加されて今に至ります。
なのでMTが乗れる免許を持ってればATも乗れる。
それだけです。

普通免許と普通免許のＡＴ限定が、有るだけです
ＭＴ限定は、存在しません

便宜上、MT免許と言いますが、実際にはMTと AT両方の車に乗れます。
AT免許はAT車限定免許というのが正しいです。
教習所では、1時限程度AT車の技能体験があります。
また、高速教習ではAT車を使うことが多いです。