免許証を再交付した場合、交付の欄はもとの免許証と違う日にちになりま

免許証を再交付した場合、
交付の欄はもとの免許証と
違う日にちになりますか？
補足紛失した場合には下にある
番号が１３桁になるという
ことでしょうか？

おっしゃる通りです。そうなります。

いいえ、元と全く同じ免許証がもらえます。
紛失再交付の場合は、免許証番号（１２ケタ）の末尾の番号が一つ増えるだけです。

補足、
１２ケタは１２ケタのままです。１２ケタの末尾が、普通は０ですが、再交付するたびに、１・２・・・・と数字が増えていくのです。