私は長野県の教習所を卒業しました。長野で免許を取ろうと思ったので

私は長野県の教習所を卒業しました。長野で免許を取ろうと思ったのですが大学の準備とかもあり東京の学生寮に引越し府中の免許センターで取ることにしました。そこで質問があります。寄宿先の証明書は必要
なんでしょうか？教えてください。

寄宿先は、関係ありません。
住民票があるかどうかです。
http://www.keishicho.metro.tokyo.jp/menkyo/menkyo/tetuzuki/tetuzuki01.htm

あなたは「住民票」をどこに置いているのでしょうか？運転免許試験は、住民票を置いている都道府県でしか受験できません。
寄宿先の証明とか一切不要（というか関係ない）です。
住民登録されている住所がすべてですので、、好き勝手なところで受験はできませんよ。

住民票がある都道府県管轄の免許センターでなければ受験できません。
住民票を寮に移せば、受験可能。

住民登録は長野県ですか、それとも東京に移しましたか？
長野県のままならば、長野の試験場でしか試験を受けることはできません。東京に移していれば、東京の府中（鮫洲でも江東でも可）でしか受けられません。
下宿先の証明書なんていりませんが、本籍が記載された「住民票の写し」1通が必要です。自動車学校に入った時にも、提出したと思いますが、これは仮免許取得の時に使ってしまったと思いますので、また役所に行って、発行してもらいましょう。