自動車免許を取得した場合、その更新は免許を取得した教習所がある県の

自動車免許を取得した場合、その更新は免許を取得した教習所がある県の警察署でしかできないのですか？

どこの警察署でもできますよ。

免許更新に通った教習所の場所は無関係です。
どこに住んでいようとも(住民票がどこにあっても)、教習所は全国どこでも通うことができます。極端なことを言えば、沖縄県に住んでいて北海道の教習所に通うこともできます。
しかし、最後の免許を取得した本試験は住民票のある都道府県でないと受けることができません。沖縄県に住んでいるのならば、卒業したのが北海道の教習所でも本試験は沖縄県の免許センターでのみ受けることができます。
免許更新もこれと同じで、住民票がある都道府県で更新となります。地域によって違いがありますが、基本的には初回更新は免許センターのみというところがほとんどです。
警察署で更新ができるようになるのは、2回目の更新以降で優良運転者や一般運転者などの運転者区分の人になります。

引っ越したなら、引っ越した時に免許記載住所の変更届を出しているはず。
裏に書かれたりする。
基本、更新は免許記載住所管轄の施設になります（例外もあります）。
どこで取得したかは問題ではありません。現在、どの住所が記載されているかです。

免許証の住所地を管轄する公安委員会に更新の申請をすることになっています。
アナタの県では教習所で免許が取得出来るんですか？

今現在あなたの住んでいる地域の、免許センターや警察署です。
引越せば、引越し先の免許センターや警察署になります。
どこの教習所で免許を取得したのかは関係ありません。