自動車免許ですが、統合失調症だと更新はできても（できない場合もありますが）、

自動車免許ですが、統合失調症だと更新はできても（できない場合もありますが）、新規取得はできないのですか？

結論から言うと、日本では統合失調症でも免許はとれます。外国では免許取得に医師の診断書が一律に必要な場合もあるようですけど。
とりあえず最初に主治医に相談して、大丈夫でしょうと言う言質がとれれば、教習所や警察には病気のことは伏せておいて、そのまま取得できます。
取得時の「病気の状況等申告書」には「統合失調症と診断されていますか」といった質問はありません。
プライバシーのためとのことですが、いくら警察といえどもそこまでは手が出せないのだそうです。
ただし、大きな事故を起こしたらかなりややこしいことになりますので、くれぐれも安全運転で。

車は、場合によっては凶器化します。
それを十分に考えた上で行動をお願いします。

幻覚や妄想を発症する事もある病気ですから、医師の診断（許可）を必要とします。
内緒で取得も出来ますが、違法な取得として（公安委員会が）取消す事も出来ます。
運転に支障をきたす可能性のある病気は、医師の許可が必要だと考えて下さい。

免許取得の時に問診票や、診断書を提出しませんから、問題はありません。