自動車の運転免許証の併記(新しい免許を取得)は自動車学校を卒業

自動車の運転免許証の併記(新しい免許を取得)は自動車学校を卒業したその次の日でも免許センターで併記できるのでしょうか？

平日だったらできますよ。
土日祝日以外であれば、卒業証明書があれば併記できます。

技能試験を午前中に行ない、昼前には終わります。
当日の併記（技能・学科免除ですが形式上は試験となる）は、ダメという所もあるようですが、翌日（年末年始以外の平日に限る）ならば大丈夫でしょう。
尚、試験ですから、更新手続きのように何時に行ってもよい、というわけではないので、HP等で試験（併記）の受付時間を確認しておきましょう。

できるが、学科免除でない場合はできない場合もある。
ちなみに併記ではなくて
「受験（技能・学科ともに免除の場合を含）」になるため、
受付時間の確認時は注意してください。