最近いわき市から福島市に引っ越した者です。運転免許証の住所変更について、

最近いわき市から福島市に引っ越した者です。
運転免許証の住所変更について、消印付き郵便物で可能と聞いたので、福島警察署に持っていって確認したところ、不可能だといわれました。
確認
したところ、確かに福島警察署の運転免許記載変更の欄には消印付郵便物と直接記載されてはいませんでしたが、「住民票又はその住所を確かめるに足りる書類」これが一般的に消印付郵便物にあたるのではないでしょうか？
担当のおばさんが「消印付郵便物ってなんだろう？」みたいな顔をしていたので、その人の勘違いの可能性はないかと思い相談させていただきました。

法令上の規定は、「住民票の写しその他の住所を確かめるに足りる書類」とされているだけです(住民票というのは本来は役所内に保管されている書類のことで、世間で俗に住民票と呼ばれているものは正式には「住民票の写し」です)。
「その他の住所を確かめるに足りる書類」としてどこまでを認めるかは、都道府県ごとに判断が異なります。消印付きの郵便物ならなんでも可、という場所もたしかにありますが、全国どこでも通用する「一般的」なことではありません。
福島県警では、「健康保険被保険者証」「公的機関又はこれに準じる機関が当該届出者を名宛人として作成交付した領収証書、郵便物等」を認める、という方針のようですから、郵便物であれば全てが認められるというわけではありません。受付の人は、その郵便物の送付者が「公的機関又はこれに準じる機関」にあたるか、判断を迷っていたのではないでしょうか。
http://www.police.pref.fukushima.jp/oshirase/menkyo/m_8.html

HPをもう少し下まで読んでください。
http://www.police.pref.fukushima.jp/oshirase/menkyo/m_8.html
※ その住所を確かめるに足りる書類とは、
~健康保険被保険者証
~公的機関又はこれに準じる機関が当該届出者を名宛人として作成交付した領収証書、郵便物等
このように記載されています。
国や都道府県、市町村だけではなく、電話会社、ガス会社や電力会社というのも公的機関にあたりますので、質問者さんの住所、氏名が記載されているNTTや電力会社など、公共料金の領収証書を持参されれば大丈夫です。（消印の有無は不問）
持参されたのは、公的機関からではない郵便物であったのではありませんか？
運転免許証の記載事項変更に必要な書類というのは、全国共通なのは住民票の写しのみで、それ以外で何を認めるかというのは各都道府県で異なります。
例えば、東京などでは消印付き郵便物で大丈夫なのですが、福島では公的機関からの郵便物でなければなりません。
中には、群馬県などのようにもっと厳しい県もあり、住民票の写し、国民健康保険証、住基カード、身体障害者手帳、その他官公庁が発行した郵便物（公的機関ではない）のいずれかを持参しなければなりません。

福島市なら庭坂の免許センターへいくべきではないでしょうか。

そういう場合だと、普通の郵便物じゃなくて、『公共料金の請求書または領収控え』じゃないとダメなんじゃないですかね。
普通の郵便物だと、確実にあなただと証明するモノには今一つ弱いですからね。公共料金の請求書または領収控えだと、確実に住所の証明書と名前等の確認を出来るモノになりうる事でしょうからね。
警察署に確認してみれば、公共料金の請求書または領収控えで大丈夫ですが、後は保険証とか別に身分証明書を用意しておいた方が確実だと思います。

確かに福島県免許センターのＷＥＢサイトには、ご指摘のような
記載がされていますね。
その下に
・公的機関又はこれに準じる機関が当該届出者を名宛人として
作成交付した領収証書、郵便物等
とありますので、消印付き郵便物でも住所変更は可能なはずです。

因みに、警視庁のＷＥＢサイトには消印付き郵便物って記載されて
います。
http://www.keishicho.metro.tokyo.jp/menkyo/menkyo/kisai/kisai00.htm

住所変更には住民票を持参する人が多いので、窓口のおばさんが
よく理解していなかったのではないでしょうか？