免許証を紛失しました。 - 単体です、免許証入れにも入っていない状態で

免許証を紛失しました。
単体です、免許証入れにも入っていない状態で徒歩中に
どこかで落としたみたいなのですが、誰かが住所
宛てに郵送してくれないかと期待しているのですが
もし、交番や警察署に届けられた場合、警察は
連絡してくれますか？
それとも自分から「届いていませんか？」問い合わせない
と無理ですか？
連絡してくれるほど警察は親切でも、暇でもないですかね？

当然、重要な物をなくした場合は、交番等へ紛失届を出しておくべきです。
ただし場合によっては親切な人が届けてくれる可能性もあります。
私は以前集合住宅に住んでいまして、階下の人が自宅まで
運転免許証を届けてくれたことがありました。

もし仮に届けてくれた場合、いくらの謝礼しますか？
貴方の免許証の価値はいくらぐらいですか？
単純にサラッと落とすくらいだから大した価値って感じじゃない見たいね。
３６００円の価値ですかね。
免許証に電話番号書いて無いでしょ。再交付申請して下さい。

警察への届は行うべきでしょう。
仮に落とし物として警察署等へ届いても、すぐに電話番号など連絡先が分かる訳ではありません。
犯罪以外の場合、電話番号など個人情報は警察であっても調べられません。

誰かが郵送というのはないと言っていいと思います。
遺失物届を出さなくても親切な人が警察に届けてくれたら必ず警察から連絡があります。
遺失物届を警察署か交番に出したほうが、免許証が見つかった場合、早めの対応になる場合があります。

警察に紛失届を提出しておけば主様の免許証が
警察に届けられたならば主様に必ず連絡が入ります。
そういう仕組みになっていまいから。