免許証に「平成27年5月10日まで有効」とありますが、これは

免許証に「平成27年5月10日まで有効」とありますが、 これは免許センターで更新しないといけないということですか？

違反者や初めての更新の場合は免許センターです。
それ以外の方は県内の警察署でも更新可能です。
高齢者講習受講者は違反者でも警察署で更新可能です。

今年は平成２５年なので、更新までにはまだ２年ありますよ。
運転免許証の更新は質問者様の誕生日を基準にして前後１っか月が更新期間になりますので、この間に免許証を更新してください。
更新手続きする場所は免許センターもしくは警察署になりますが、警察署の場合は更新できる場合とできない場合がありますので、面倒でも免許センターへ行く方が確実です。

基本的に免許センター。警察署は更新可能なところと不可のところがあります。
お住まいの地名と免許更新で検索しては？

あなたの誕生日が４月１０日と思います。平成２７年の誕生日の前後１ヶ月間で免許更新してください

そうですよ。更新せんとダメですよ。

その日までに更新しなければ免許証が失効してしまいます。
更新する場所は免許センターでも警察署でもOKです。