３月に免許証の住所変更を警察署で行い、現在免許更新時期で初回なの

３月に免許証の住所変更を警察署で行い、現在免許更新時期で初回なので免許センターに講習を受けに行くところです。
しかし、新住所は免許証の裏に印字されていて表面は旧住所のままです。
こ
れは一度役所で住民票を発行してもらい、免許センターでも変更するよう伝えた方が良いのでしょうか？
それとも、警察署で変更手続きは終えているのでそのまま免許センターへ行けば自動的に表面に新住所が印字されるのでしょうか？
よろしくお願いします。
住所はどちらも埼玉県です。

警察署で住所変更の手続きをしているのなら、裏書きのままで大丈夫です。
更新時に新住所になります。