たとえば、２０１２年９月５日に初めて免許をとった人が初心者マークを付けな

たとえば、２０１２年９月５日に初めて免許をとった人が初心者マークを付けなくてもよくなるのは、２０１３年のいつから？
９月５日？
９月６日？

結論だけ言えば、質問のケースでは9月6日の午前0時からです。
詳しくは、民法の第140条・第141条などに従うことになりますので、取得した2012/9/5は「1年」の期間に含まれず、2012/9/6の午前0時からカウントされますので、2013/9/5が終了した時点でようやく「1年」に達します。

免許取得した日から1年後の9月4日までが付けていなければいけない期間
外せるのは9月5日から