自動車免許更新手続き中で（裏にはんこ押し済）有効日が過ぎているのに気付

自動車免許更新手続き中で（裏にはんこ押し済）有効日が過ぎているのに気付きました。新しい免許を受け取るまでに自分が運転しなければ大丈夫でしょうか？

裏に書かれた有効期限内であれば問題ないはずです。（不安だったら、免許センターなどに確認を）
もし、裏書きされた有効期限も過ぎているのであれば、無免許状態なので運転してはいけません。
どのみち、早く手続き取った方がいいですね。

更新免許証が来るまで運転しても構いませんよ。

更新時講習は受講されましたか？
更新時講習の受講まで済ませていれば、更新手続きは済んでおり、新しい免許証の受け取りが残っているだけです。
例え、引き換え前の免許証の延長された期限を過ぎていても、"免許"の効力は有効ですから、新しい免許証を受け取りに行けば済みます。
もしも、更新時講習の受講が済んでおらず、便宜上延長された有効期限を過ぎている場合には、更新手続きが完了しておらず、免許は本来の有効期限の翌日にさかのぼり失効しています。
運転をすれば、無免許運転にあたりますし、早急に失効手続きで免許を再取得しなければなりません。