先日運転免許証を飼い犬に噛まれてかみあとが付いてしまいました。

先日運転免許証を飼い犬に噛まれてかみあとが付いてしまいました。
このまま使い続けるのはまずいでしょうか？
再発行するとしたらどこへ行けば、また発行に伴う所要日数はどのくらいでしょう
か？

再発行は地域にもよりますね。
大抵の地域では運転免許試験場、運転免許センター、警察署のどこでも出来ますが出来ない地域もありますから所轄の警察署に電話をすれば教えてくれます。
日数は大抵は即日です。
噛み後程度なら別に特に問題ないと思いますけどね、読めないような状態なら再発行をして下さい。
ちゃんと読む事が出来る、穴が空いてないならそのままでも構わないでしょう。

大抵の都道府県は
警察署で再発行はできないです。
運転免許試験場（運転免許センター）です。
普通免許か自動二輪か大型特殊を取得するとき
学科試験を受けたところです。
大抵当日発行です。

記載事項が読み取れないとか、顔写真がわからないのであれば、
再発行してもらってください。
再発行については、最寄の警察署か、運転免許センターでしょう。
警察署から申請すると、日数は掛かります。
運転免許センターの場合は、当日に再発行するのです。
ただし、運転免許センターによっては、
平日に限って、再発行手続きを行うところがあるので、
自分の住んでいる都道府県警察のホームページで確認してください。

まったく問題ないですよ