原付の免許の更新が6/27までなんですけど、いま教習所に通っていて、22日に

原付の免許の更新が6/27までなんですけど、いま教習所に通っていて、22日に卒業予定です。
原付の更新料と普通免許の手数料を共に払いたくないので、27日までに免許交付を目指していますが、も
し普通免許を27日までに取れなかった場合、原付の更新手続きをしないと普通免許の交付資格は与えられないのでしょうか？

出来ることは出来るんですが・・ちょっと面倒なんですよ。
免許番号というのは一人１つでしょ？貴方は既に「原付」を持ってるので、免許番号を持ってる訳です。
で、その免許番号を元に「仮免」を持ってる筈です。で、原付の更新をしないと現状の免許番号を失効することになります。つまり、その番号を元に持ってる仮免の番号に不整合が起きちゃう訳です。原付が失効したら教習所にその旨伝えて番号をどうにかして貰わないといけないんですよ。そうしないと本免受験時に「免許は？」と必ず問われ結構邪魔臭いことになると思います。
ですので理想は27日までに普通免許取得。もしそれが無理なら原付はちょっともったいないけど更新された方が何かと面倒が無く済むかと思います。

大丈夫ですが、緑帯の免許証になります

大丈夫です。
原付免許取得の印が、免許証から消える事と、６月２８日以降～普通運転免許証交付日までの期間に原付を運転すると、無免許運転となります。
更には、遠い将来に何らかの身体的な事柄で、普通免許の適正検査に不合格、但し原付免許の適正検査には、合格条件に合致していても、失効させた原付免許は復活しませんので、原付免許の取り直しになります。