運転免許証の更新について - 更新期限きれてから六ヶ月以内のものですが、

運転免許証の更新について
更新期限きれてから六ヶ月以内のものですが、この場合警察署での発行はしていただけますか？

海外へ行っていた。等の理由があったり。場合により変わってきますので、警察署にたずねてみてください。

ゴールド免許でも警察署での発行は出来ません。
警察署で手続きをして試験場で発行するのです。
貴方の場合は試験場のみですね。

住民票と写真と印鑑、手数料３６００円持って免許センターに行ってくれ。但し平日のみ。

北海道の場合は、エリアが広いから、警察署でも可能だけど、
他のところは、運転免許センターや運転免許試験場で手続きをとるようです。
「うっかり失効」のようですから、適正試験を受ける必要があります。

残念ながら再交付はできません。（免許証は“発行”という表現はしません）
切れてしまったら失効します。一度失効させたら、もう一度取得し直さなければなりません。
が、切れて半年以内であれば、更新と同じような手続きで再取得が可能です。用意しなければいけないモノが増えます。
また、手数料も通常の更新手数料よりも高くなります。なぜならば、再取得にかかる“受験料”になるからです。
形式上、試験を受けることになるので、手続きは運転免許試験場での取り扱いになります。
だいたいどこの都道府県でも同じかと思いますが、47都道府県を確認したわけではないので、そこはあなたのお住まいの警察のHP等で確認してください。

都道府県によって異なります。
東京都、神奈川県のように運転免許試験場でなければ手続き不可のところ
長崎県のように警察署、運転免許試験場で手続可能なところがあります。
お住いの運転免許試験場での確認が必要です。