普通運転免許について質問です。残すところ、公安に行って筆記試験を受験して

普通運転免許について質問です。
残すところ、公安に行って筆記試験を受験して本免許を取得するのみなんですが、卒業証明書が12月17日で仮運転免許証の交付日が12月9日とあります。
一年が期
限と聞きましたが、この場合は何日まで公安で筆記試験を受験することができますか？

~12月16日までに合格してください。
運転免許試験を受ける際に技能試験が免除されるのは、「卒業証明書を有するもので、卒業証明書に係る技能検定を受けた日から起算して一年を経過しないもの」と規定されています。
卒業検定に合格した昨年の12月17日が初日となり、初日不算入は適用されませんから、今年の12月16日までに学科試験に合格するようしてください。
※17日は1年が経過した日になり、卒業証明書が無効なので注意
仮免許は不要になったものを返却するのみですので、交付日は関係ありません。

筆記試験自体は、一年経過した後でも受験は可能です。

仮免許の期限はもう気にしなくていいです。但し、本免許と引き換えに回収されるのでなくさないで、学科試験の日には持っていきましょう。
卒業証明書の有効期限は発行から1ヵ年です。それまでに学科試験に受からないと、教習自体が水の泡になります。