高校を卒業して車の免許を取った娘が、福岡で就職をしました。熊本の実家のほう

高校を卒業して車の免許を取った娘が、福岡で就職をしました。
熊本の実家のほうへ免許更新のはがきが来たのですが、熊本で
免許更新をしていいのでしょうか？
更新の際に住所変更をすればいいのでしょうか？
それとも福岡で更新しなければいけないのでしょうか？
宜しくお願い致します。

住民登録してる地域（管轄）の免許センター
での更新になりますよ
熊本の実家に住民登録してるなら
熊本運転免許センターでの更新になります
福岡で更新されるなら まず熊本から福岡に
住所変更を役所に届け出ないとですね
で運転免許証の
住所変更は住民登録してる地域の免許センター
又は警察署で出来ますけど
例えば福岡市博多区に住民登録なら
博多警察署で出来ます。

免許更新のはがきに更新場所が書かれていますので確認してください。

住民票はどちらにありますか？
福岡に住民票を移動してるなら、今後のこともあるので福岡で更新と同時に住所変更されるのが良いかと思います。
熊本に住民票が残ったままなら、このさい住民票も転出届を出して、福岡へ移されるのがベストな方法かと思います。
もちろん、今のまま住所を変更せずに熊本で更新すると言うことも可能ですよ。
ですが、免許証の更新のためだけに数年に１回熊本まで行かないと更新が出来ないと言うことになるので、娘さんにしたらすごい不便かと思います。