私が経営に参画する運送会社は、ドライバーだけではなく経理や事務や仕分けのアル

私が経営に参画する運送会社は、ドライバーだけではなく経理や事務や仕分けのアルバイトにも運転記録証明書の委任状へのサインを求めます。
これは、やはり問題がありますか？

任意でサインを求めるなら大丈夫でしょうけれど
強制的にさせると問題になりそうです。
「運転記録証明書・強制」で検索すると
個人情報保護の観点から疑問がある、という意見が散見されます。
特に直接運転にかかわらない職種の人にたいしては
拒否されても会社側としては対抗できそうにありません。
ただ、免許証の確認なら問題にならないようです。
この辺は社労士に相談される方がよいでしょう。
以下は蛇足かもしれませんがですが、
マイカー通勤規定のようなものはありますでしょうか。
ご存知と思いますが、
マイカーでの通勤途中（帰宅時も含めて）に事故があった場合、
会社側に責任を求められることがあります。
私の勤務先では届出制としていて
対人対物無制限の任意保険加入が原則です。
また、社有車を運転することもあるので、
免許証の確認も年に一回はしています。
これは事務職も含めて行っています。
もし、ないようならば社員の意識向上のためにも
こちらの社内制度も考えられてはどうでしょう。

委任状書かせるだけエライ！
我が社は、毎年運転記録を取っているけど、勝手に給与台帳用に預けている三文判で、勝手にメクラ判している模様。

問題あるとは思えないです。いいと思いますよ。
運転手には安全教育とか徹底してても、経理や事務員は違反しまくってたら、やっぱ他の従業員に示しがつかないでしょうし。
免停中や取り消しになってるのに自動車通勤してる、なんて可能性もあるかもしれませんし。