ニュージーランドでの冬のロードトリップについて質問です。8月

ニュージーランドでの冬のロードトリップについて質問です。
8月末から9月頭にかけて、1週間程度のニュージーランド旅行を考えています。
女2人で、キャンパーバンを借りてのロードトリップを計画中。
クリストチャーチ→テカポ湖、フランツジョセフ→クイーンズタウン（4泊5日）
クイーンズタウン→オークランドまでフライトして北島で（2泊3日）
のプランです。

問題は、私たち一応免許は持っているのですが、そこまで運転に慣れているわけではなく、雪道の運転経験もありません…
この時期の道路の状況はどんなかんじでしょうか。
おそらくシティ周辺はチェーンがなくても大丈夫だと思うのですが、
テカポ湖、フランツジョセフ、クイーンズタウンのスキー場までの道
このあたりの道路の状況が知りたいです。
（絶対チェーン必須！なのか、たまにいる、なのか…）
もしかなり降雪して運転が危ないのであれば、
チェーンなしで行ける観光ルートがもしあればご教授いただければと…
もしくは、時期を9月末にずらしたら大丈夫とかあったらそれも伺いたいです。
もし難しそうであればロードトリップはあきらめて公共交通機関を使うしかないのかなと思っています。
あと、さすがに南島はチェーンなしでも大丈夫ですよね…？念のため…。補足すみません！間違ってました！最後の質問は、北島の間違いです。

質問のうち前者はわかりませんが、ニュージーランドは南のほうが寒いのはご存知ありませんか？
北島でチェーンが必要なら南島では必須じゃないでしょうか？
南半球は北が温かく南が寒いのは小学生でも知ってるでしょうに。
もし南半球でもニュージーランドだけ南が温かいのであれば私の非常識ですけど。